Question

设函数f(x)=ax+

b

x

，曲线y=f（x）在点M(

3

，f(

3

))处的切线方程为2x-3y+2

3

=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；       
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间
（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求f（x）的解析式就是求a与b的值，根据切点在曲线上以及在切点处的导数为切线的斜率建立关于a与b的方程组，即可求出所求；       
（Ⅱ）函数f（x）的单调递减区间，只需令f′（x）＜0，解得x的取值范围即为该函数的减区间；
（Ⅲ）先设P（x₀，y₀）为曲线上任一点，然后利用导数研究在该点处的切线方程，求出与直线x=0和直线y=x的交点坐标，表示出围成的三角形面积，该值与x₀无关，即为定值．

解答：解：（Ⅰ）∵切点在切线上∴将点M代入切线方程解得f(

3

)=

4 3

3

，
由f′（x）=a-

b

x2

，
根据题意得关于a，b的方程组：

a- b 3 = 2 3 3 a+ b 3 = 4 3 3

，解得：a=1，b=1，
所以f（x）的解析式的解析式为：f(x)=x+

1

x

，
（Ⅱ）由f′（x）=1-

1

x2

（x≠0），
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜0或0＜x＜1，
所以f（x）的单调减区间为（-1，0），（0，1）；
（Ⅲ）设P（x₀，y₀）为曲线上任一点，
由y′=1-

1

x2

知曲线在点P（x₀，y₀）处的切线方程为y-y0=(1-

1

x 2 0

)(x-x0)，
即y-(x0+

1

x0

)=(1-

1

x 2 0

)(x-x0)，
令x=0得y=

2

x0

，从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0，

2

x0

)，
令y=x得y=x=2x₀，从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x₀，2x₀），
所以点P（x₀，y₀）处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为

1

2

|

2

x0

||2x0|=2．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性和围成图形的面积，同时考查了运算求解的能力和转化的思想，属于中档题．