Question

已知函数时都取得极值
（1）求a，b的值及f（x）的单调区间
（2）若对x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

解：（1）求导数，得f′（x）=3x²+2ax+b
∵
∴?
∴f（x）=x³-x²-x+c，其导数为f′（x）=3x²-2x-1
当x或x＞1时，f′（x）＞0，函数为增函数；
而当＜x＜1时，f′（x）＜0，函数为减函数
∴函数f（x）的增区间为（-∞，）和（1，+∞）；减区间为（，1）
（2）∵对x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，
∴f（x）在区间[-1，2]上的最大值小于右边c²
根据（1）的单调性，可得f（x）的最大值是f（-）、f（2）中的较大值
∵f（-）=+c＜f（2）=2+c
∴f（x）的最大值是2+c
因此2+c＜c²恒成立，解之得c＜-1或c＞2
∴c的取值范围为：（-∞，-1）∪（2，+∞）．
分析：（1）函数在极值点处，其导数的值为零．因此可以列出，解方程组可得a，b的值，得到表达式，最后根据所得表达式，讨论导数的符号，可得函数f（x）的单调区间；
（2）在（1）的条件下，求出函数f（x）在闭区间[-1，2]上的最大值，这个最大值应该小于c²，最后解不等式，可得c的取值范围．
点评：本题考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，函数在某点取得极值的条件等等知识点，属于中档题．