【题目】如图，在圆心角为
，半径为
的扇形铁皮上截取一块矩形材料
，其中点
为圆心，点
在圆弧上，点
在两半径上，现将此矩形铁皮卷成一个以
为母线的圆柱形铁皮罐的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长
，圆柱形铁皮罐的容积为
.
（1）求圆柱形铁皮罐的容积
关于
的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）当为何值时，才使做出的圆柱形铁皮罐的容积最大？最大容积是多少？ (圆柱体积公式：
，
为圆柱的底面枳，
为圆柱的高）
【答案】（1）
；（2）
，
.
【解析】分析：（1）先利用勾股定理可得OA,根据周长公式得半径，再根据圆柱体积公式求V(x)，最后根据实际意义确定定义域，（2）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值.
详解：（1）连接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得OA＝
，
设圆柱底面半径为r，则＝2πr，
即4
＝3600－
，所以V(x)＝π
＝π·
·x＝
，
即铁皮罐的容积为V(x)关于x的函数关系式为V(x)＝，定义域为(0，60).
（2）由V ′(x)＝
＝0，x∈(0，60)，得x＝20
．
列表如下：
x | (0，20 | 20 | (20 |
V ′(x) | ＋ | 0 | － |
V(x) | ↗ | 极大值V(20 | ↘ |
所以当x＝20时，V(x)有极大值，也是最大值为.
答：当x为20 cm时，做出的圆柱形铁皮罐的容积最大，最大容积是.
云南师大附小一线名师提优作业系列答案
冲刺100分单元优化练考卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为
，他们海选合格与不合格是相互独立的．
（1）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；
（2）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量
,求随机变量的分布列和数学期望
．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】下列命题中正确的是（ ）
A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
D. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某校在本校任选了一个班级，对全班50名学生进行了作业量的调查，根据调查结果统计后，得到如下的
列联表，已知在这50人中随机抽取2人，这2人都“认为作业量大”的概率为
.
| 认为作业量大 | 认为作业量不大 | 合计 |
男生 | 18 | ||
女生 | 17 | ||
合计 | 50 |
（Ⅰ）请完成上面的列联表；
（Ⅱ）根据列联表的数据，能否有
的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关？
（Ⅲ）若视频率为概率，在全校随机抽取4人，其中“认为作业量大”的人数记为
，求的分布列及数学期望.
附表：
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
附：
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