Question

选修4-5：不等式选讲已知实数a，b，c满足a²+2b²+3c²=24
①求a+2b+3c的最值；
②若满足题设条件的任意实数a，b，c，不等式a+2b+3c＞|x+1|-14恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

解：①因为已知a、b、c是实数，且a²+2b²+3c²=24
根据柯西不等式（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²
故有（a²+2b²+3c²）（1²++（）²）≥（a+2b+3c）²
故（a+2b+3c）²≤144，即|a+2b+3c|≤12
即a+2b+3c的最大值为12，a+2b+3c的最小值为-12；
②：已知不等式a+2b+3c＞|x+1|-14恒成立，即需要|x+1|-14小于a+2b+3c的最小值即可．
即|x+1|-14＜-12．解得：-2＜x+1＜2，-3＜x＜1
即：实数x的取值范围（-3，1）．
分析：①首先分析题目已知a²+2b²+3c²=24，求a+2b+3c的最大值，考虑到柯西不等式（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²的应用，构造出柯西不等式求出（a+2b+3c）²的最大值开方即可得到答案．
②首先分析题目已知不等式a+2b+3c＞|x+1|-14恒成立，求x的取值范围，即需要k小于|x+1|+|x-2|的最小值即可．由①分析得a+2b+3c的最小值，即|x+1|-14＜-1可得到答案．
点评：此题主要考查一般形式的柯西不等式的应用，对于此类题目很多同学一开始就想到应用球的参数方程求解，这个方法可行但是计算量较高，而应用柯西不等式求解较简单，同学们需要很好的理解掌握．此题还考查不等式恒成立的问题．