Question

设数列{a_n}的通项公式为a_n=pn+q（n∈N^*，P＞0）．数列{b_n}定义如下：对于正整数m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若p=

1

2

，q=-

1

3

，求b₃；
（Ⅱ）若p=2，q=-1，求数列{b_m}的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先得出a_n，再解关于n的不等式，利用正整数的条件得出具体结果；
（Ⅱ）先得出a_n，再解关于n的不等式，根据{b_n}的定义求得b_n再求得S_2m；
（Ⅲ）根据b_m的定义转化关于m的不等式恒成立问题．

解答：解：（Ⅰ）由题意，得an=

1

2

n-

1

3

，
解

1

2

n-

1

3

≥3，得n≥

20

3

．
∴

1

2

n-

1

3

≥3成立的所有n中的最小正整数为7，即b₃=7．

（Ⅱ）由题意，得a_n=2n-1，
对于正整数m，由a_n≥m，得n≥

m+1

2

．
根据b_m的定义可知
当m=2k-1时，b_m=k（k∈N^*）；
当m=2k时，b_m=k+1（k∈N^*）．
∴b₁+b₂+…+b_2m=（b₁+b₃+…+b_2m-1）+（b₂+b₄+…+b_2m）=（1+2+3+…+m）+[2+3+4+…+（m+1）]=

m(m+1)

2

+

m(m+3)

2

=m2+2m．

（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p＞0得n≥

m-q

p

．
∵b_m=3m+2（m∈N^*），根据b_m的定义可知，对于任意的正整数m都有3m+1＜

m-q

p

≤3m+2，
即-2p-q≤（3p-1）m＜-p-q对任意的正整数m都成立．
当3p-1＞0（或3p-1＜0）时，得m＜-

p+q

3p-1

（或m≤-

2p+q

3p-1

），这与上述结论矛盾！
当3p-1=0，即p=

1

3

时，得-

2

3

-q≤0＜-

1

3

-q，
解得-

2

3

≤q＜-

1

3

．（经检验符合题意）
∴存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）；p和q的取值范围分别是p=

1

3

，-

2

3

≤q＜-

1

3

．

点评：本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题．