Question

已知O是线段AB外一点，若，．
（1）设点A₁、A₂是线段AB的三等分点，△OAA₁、△OA₁A₂及△OA₂B的重心依次为G₁、G₂、G₃，试用向量、表示；
（2）如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．

Answer 1

解：（1）如图：点A₁、A₂是线段AB的三等分点，\overrightarrow{OG_{1}}=2/3[1/2(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA_{1}})]=1/3(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA_{1}})，同理可得：\overrightarrow{OG_{2}}=1/3(\overrightarrow{OA _{1}}+\overrightarrow{OA_{2}})，\overrightarrow{OG_{3}}=1/3(\overrightarrow{OA_{2}}+\overrightarrow{OB})，则\overrightarrow{OG_{1}}+\overrightarrow{OG_{2}}+\overrightarrow{OG_{3}}=1/3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+2/3(\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OA_{2}})=1/3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+2/3[\overrightarrow{a}+1/3(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})+\overrightarrow{a}+2/3(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})]=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})（2）层次1：设A₁是AB的二等分点，则OA_{1}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}/2；\overrightarrow{OG_{1}}+\overrightarrow{OG_{2}}=2/3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})；设A₁、A₂、A₃是AB的四等分点，则\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OA_{2}}+\overrightarrow{OA_{3}}=3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})/2；或设A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分点，则\overrightarrow{OA_{k}}+\overrightarrow{OA_{n-k}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}，层次2：设A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分点，\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OA_{2}}+\overrightarrow{OA_{3}}++\overrightarrow{OA_{n-2}}+\overrightarrow{OA_{n-1}}=n(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})/2，层次3：设A₁，A₂，，A_n-1是AB的n等分点，则\overrightarrow{OG_{1}}+\overrightarrow{OG_{2}}+\overrightarrow{OG_{3}}++\overrightarrow{OG_{n-2}}+\overrightarrow{OG_{n-1}}=n(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})/3；证：\overrightarrow{OG_{1}}+\overrightarrow{OG_{2}}++\overrightarrow{OG_{n-1}}=1/3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+2/3(\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OA_{2}}++\overrightarrow{OA_{n-1}})=1/3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+2/3[\overrightarrow{a}+1/n(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})+\overrightarrow{a}+2/n(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})++\overrightarrow{a}+n-1/n(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})]=1/3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+2/3[(n-1)\overrightarrow{a}+(1/n+2/n++n-1/n)\overrightarrow{b}-(1/n+2/n++n-1/n)\overrightarrow{a}]=1/3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+2/3•(n-1)/2(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=n/3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})