Question

14．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足a₁+a₃=0，S₅=-5．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁+a₃=0，S₅=-5．
∴2a₁+2d=0，5a₁+10d=-5，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=-1}\end{array}\right.$，
∴a_n=1-（n-1）=2-n．
（II）$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$=$\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（-1-1）+（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）]$
=$\frac{1}{2}（-1-\frac{1}{2n-1}）$
=-$\frac{n}{2n-1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．