Question

某“农家乐”接待中心有客房200间，每间日租金为40元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金．如果每间客房日租金每增加4元，客房出租就会减少10间．（不考虑其他因素）
（1）设每间客房日租金提高4x元（x∈N⁺，x＜20），记该中心客房的日租金总收入为y，试用x表示y；
（2）在（1）的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设每间客房日租金提高4x元（x∈N⁺，x＜20），记该中心客房的日租金总收入为y，根据条件即可求出y的表达式；
（2）利用基本不等式或者一元二次函数的性质求最值即可．

解答： 解：（1）若每间客房日租金提高4x元，则将有10x间客房空出，
故该中心客房的日租金总收入为y=（40+4x）（200-10x）=40（10+x）（20-x），（这里x∈N^•且x＜20）．
（2）∵y=40（10+x）（20-x）≤40（(

10+x+20-x

2

)2=40×225=9000，
当且仅当10+x=20-x，即x=5时，y的最大值为9000，
即每间客房日租金为40+4×5=60（元）时，该中心客房的日租金总收入最高，其值为9000元．

点评：本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用基本不等式的性质求最值是解决本题的关键．本题也可以使用一元二次函数的最值性质解决．