Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=2a_n-n+1（n∈N^*）．
（1）若b_n=a_n-n（n∈N^*），求证数列{b_n}成等比数列；
（2）设数列{a_n}的前n项之和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n+1-（n+1）=2a_n-n+1-n-1=2（a_n-n），由此能证明数列{b_n}成等比数列．
（2）由${b}_{n}={a}_{n}-n={2}^{n}$，得${a}_{n}={2}^{n}+n$，由此利用公组求和法能求出数列{a_n}的前n项之和．

解答 证明：（1）∵{a_n}满足a₁=3，a_n+1=2a_n-n+1（n∈N^*）．
∴a_n+1-（n+1）=2a_n-n+1-n-1=2（a_n-n），（n∈N^*）
∵b_n=a_n-n（n∈N^*），a₁-1=2，
∴数列{b_n}成以2为首项，以2为公比的等比数列．
（2）由（1）得${b}_{n}={a}_{n}-n={2}^{n}$，
∴${a}_{n}={2}^{n}+n$，
∴S_n=（2+2²+…+2ⁿ）+（1+2+3+…+n）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{n（n+1）}{2}$
=${2}^{n+1}-2+\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和分组求和法的合理运用．