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椭圆的一个焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为,倾斜角为45°的直线l过点F.
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的另一个焦点为F1,问抛物线y2=4x上是否存在一点M,使得M与F1关于直线l对称,若存在,求出点M的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)确定抛物线y2=4x的焦点与准线方程为x=-1,利用椭圆焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为,建立方程,即可求得椭圆的方程;
(Ⅱ)根据倾斜角为45°的直线l过点F,可得直线l的方程,由(Ⅰ)知椭圆的另一个焦点为F1(-1,0),利用M(x,y)与F1关于直线l对称,可得M的坐标,由此可得结论.
解答:解:(Ⅰ)抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,(2分)
∴a2-b2=1  ①(3分)
又椭圆截抛物线的准线x=-1所得弦长为,∴得上交点为
  ②(4分)
由①代入②得2b4-b2-1=0,解得b2=1或(舍去),
从而a2=b2+1=2
∴该椭圆的方程为     (6分)
(Ⅱ)∵倾斜角为45°的直线l过点F,
∴直线l的方程为y=x-1,(7分)
由(Ⅰ)知椭圆的另一个焦点为F1(-1,0),设M(x,y)与F1关于直线l对称,(8分)
则得 (10分)  
解得,即M(1,-2)
又M(1,-2)满足y2=4x,故点M在抛物线上.   (11分)
所以抛物线y2=4x上存在一点M(1,-2),使得M与F1关于直线l对称.(12分)
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查点关于线的对称问题,解题的关键是利用抛物线及弦长建立方程,属于中档题.
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