Question

利用函数f（x）=（

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）^x+（

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）^x（x∈R）是减函数可以求方程（

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）^x+（

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）^x=1的解．由f（2）=1可知原方程有唯一解x=2，类比上述思路可知不等式x⁶-（x+2）＞（x+2）³-x²的解集是

 

．

Answer 1

考点：类比推理

专题：计算题,推理和证明

分析：不等式x⁶-（x+2）＞（x+2）³-x²等价为x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2）．类比（

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）^x+（

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）^x=1，求方程的解的解题思路，设f（x）=x³+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x²＞x+2，解之即得x⁶-（x+2）＞（x+2）³-x²的解集．

解答： 解：∵不等式x⁶-（x+2）＞（x+2）³-x²等价为x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2）．
∴设f（x）=x³+x，
则函数f（x）在R上单调递增，
由x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2），
即（x²）³+x²＞（x+2）³+（x+2），
∴x²＞x+2，
解得x＜-1或x＞2．
∴不等式x⁶-（x+2）＞（x+2）³-x²的解集是{x|x＜-1或x＞2}．
故答案为：{x|x＜-1或x＞2}．

点评：本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，考查学生分析问题，解决问题的能力．