Question

19．如果实数x、y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≤1}\\{x+y+1≥0}\\{x-2y-2≤0}\end{array}\right.$，且z=ax+by（a＞0，b＞0）存在最大值9，则2a²+b²的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 6
• C． 9
• D． 12

Answer 1

分析 作出可行域，平移目标直线取最值可得4a+b=9，可得0＜a＜$\frac{9}{4}$，消元可得2a²+b²=18a²-72a+81，由二次函数区间的最值可得．

解答 解：作出$\left\{\begin{array}{l}{y≤1}\\{x+y+1≥0}\\{x-2y-2≤0}\end{array}\right.$所对应的可行域（如图阴影），
变形目标函数可得y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{1}{b}$z，
平移目标直线可得当直线经过点A（4，1）时，z取最大值，
∴z_max=4a+b=9，由a＞0，b＞0可得b=9-4a＞0，
解得a＜$\frac{9}{4}$，故0＜a＜$\frac{9}{4}$，
∴2a²+b²=2a²+（9-4a）²=18a²-72a+81，
由二次函数可知当a=-$\frac{-72}{2×18}$=2时，上式取最小值9
故选：C．

点评 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．