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椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,P为椭圆C1上任意一点.
(1)求
PF1
PF2
 的最大值;
(2)设双曲线C2以椭圆C1的焦点为顶点,顶点为焦点,B是双曲线C2在第一象限上任意一点,当
PF1
PF2
的最大值为3c2时,是否存在常数λ(λ>0),使得∠BAF1=λ∠BF1A恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
考点:椭圆的简单性质
专题:计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析:(1)由题意,F1(-c,0),F2(c,0),P(x,y),从而表示出向量
PF1
PF2
;进而求
PF1
PF2
 的最大值;
(2)双曲线方程为3x2-y2=3c2,设动点B(m,n)(m>c),表示出向量
F1B
=(m+c,n),
F1A
=(3c,0),
AB
=(m-2c,n),
AF1
=(-3c,0),从而求出cos∠BAF1,cos∠BF1A;从而求出λ的值.
解答: 解:(1)由题意,F1(-c,0),F2(c,0),P(x,y);
PF1
=(-c-x,-y),
PF2
=(c-x,-y),
PF1
PF2
=x2+y2-c2=x2+b2-
b2
a2
x2
-c2
=(1-
b2
a2
)x2+b2-c2
则当x=a或x=-a时,
PF1
PF2
有最大值,
PF1
PF2
=a2-c2=b2
(2)当b2=3c2时,
可得双曲线方程为3x2-y2=3c2
设动点B(m,n)(m>c),
则有n2=3(m2-c2),
F1B
=(m+c,n),
F1A
=(3c,0),
AB
=(m-2c,n),
AF1
=(-3c,0),
于是:cos∠BAF1=
-(m-2c)
(m-2c)2+n2
=
2c-m
4m2-4cm+c2
=
2c-m
2m-c

cos∠BF1A=
m+c
(m+c)2+n2
=
m+c
4m2+2cm-2c2

∵2cos2∠BF1A-1=
2m2+4mc+2c2
4m2+2cm-2c2
-1=
2c-m
2m-c
=cos∠BAF1
∴∠BAF1=2∠BF1A,
即λ=2.
点评:本题考查了平面向量的应用,同时考查了椭圆的性质,属于中档题.
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5
5
,则tanA=
 

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判定
1
x
+1=0在[-
1
2
1
2
]内是否有实数解.

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A、?x∈R,sinx=
5
2
B、?x∈R,log2x=1
C、?x∈R,(
1
2
)
x
>0
D、?x∈R,x2≥0

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x123456
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若菱形ABCD的边长为2,则|
AB
-
CB
+
CD
|等于(  )
A、2
B、1
C、2
2
D、
2

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