【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , a1=1,满足 , , .
(1)求证:数列 为等比数列;
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn .
【答案】
(1)证明: , , .
∴n(Sn+1﹣2Sn)=2Sn,
∴ =2 ,
∴a1=1,
∴ =1,
∴数列 是以1为首项,以2为公比的等比数列
(2)证明:由(1)知 ,
∴ ,
∴Tn=1×20+2×21+3×22+…+n2n﹣1,
∴2Tn=1×21+2×22+…+(n﹣1)2n﹣1+n2n,
由错位相减得﹣Tn=1+21+22+…+2n﹣1﹣n2n= ﹣n2n=2n﹣1﹣n2n=(1﹣n)2n﹣1,
∴Tn=(n﹣1)2n+1
【解析】(1)先根据向量的平行得到n(Sn+1﹣2Sn)=2Sn , 继而得到 =2 ,问题得以证明,(2)由(1)可得以 ,由错位相减法即可求出数列{Sn}的前n项和Tn .
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【题目】如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入a,b分别为16,20,则输出的a=( )
A.0
B.2
C.4
D.14
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【题目】已知f(x)是定义在[m,n]上的函数,记F(x)=f(x)﹣(ax+b),|F(x)|的最大值为M(a,b).若存在m≤x1<x2<x3≤n,满足|F(x1)|=M(a,b),F(x2)=﹣F(x1).F(x3)=F(x1),则称一次函数y=ax+b是f(x)的“逼近函数”,此时的M(a,b)称为f(x)在[m,n]上的“逼近确界”.
(1)验证:y=4x﹣1是g(x)=2x2 , x∈[0,2]的“逼近函数”;
(2)已知f(x)= ,x∈[0,4],F(0)=F(4)=﹣M(a,b).若y=ax+b是f(x)的“逼近函数”,求a,b的值;
(3)已知f(x)= ,x∈[0,4]的逼近确界为 ,求证:对任意常数a,b,M(a,b)≥ .
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【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足acosB=bcosA.
(1)判断△ABC的形状;
(2)求sin(2A+ )﹣2cos2B的取值范围.
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【题目】解不等式( )x﹣x+ >0时,可构造函数f(x)=( )x﹣x,由f(x)在x∈R是减函数,及f(x)>f(1),可得x<1.用类似的方法可求得不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3>0的解集为( )
A.(0,1]
B.(﹣1,1)
C.(﹣1,1]
D.(﹣1,0)
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【题目】如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am(0<a<12),不考虑树的粗细.现用16m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD.设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数u=f(a)(单位m2)的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】曲线C是平面内到直线l1:x=﹣1和直线l2:y=1的距离之积等于常数k2(k>0)的点的轨迹,下列四个结论:
①曲线C过点(﹣1,1);
②曲线C关于点(﹣1,1)成中心对称;
③若点P在曲线C上,点A、B分别在直线l1、l2上,则|PA|+|PB|不小于2k;
④设P0为曲线C上任意一点,则点P0关于直线l1:x=﹣1,点(﹣1,1)及直线f(x)对称的点分别为P1、P2、P3 , 则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2;其中,
所有正确结论的序号是 .
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【题目】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”问此人第4天和第5天共走了( )
A.60里
B.48里
C.36里
D.24里
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