Question

等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=EF．将此等腰梯形绕其上底边EF所在的直线旋转一定的角度到DCEF位置（如图）．
（Ⅰ）可以直观感知，四边形ABCD是平行四边形，请给出证明；
（Ⅱ）求证：EF⊥AD；
（Ⅲ）设AC、BD交于O点，请在线段EF上探求一点M，使得三棱锥M-FAD与三棱锥O-EBC体积相等．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：∵四边形DCEF由四边形ABEF旋转所得，
∴AB=CD且AB∥EF，CD∥EF．
由平行公理得 AB∥DC．
∴四边形ABCD为平行四边形．
（Ⅱ）证明：过F作FM⊥AB于M，并设旋转后M的对应点为N，连FN，
MN．
则CD⊥FN且AM=DN．
∵AB∥CD
∴AB⊥FN
∵MF∩NF=F，
∴AB⊥面MNF
∵MN?面MNF
∴AB⊥MN
∵AB∥CD且AM=DN
∴四边形AMND为平行四边形．
∴MN∥AD．
则AB⊥AD．
∵AB∥EF∴EF⊥AD．
（Ⅲ）∵EF∥AB，AB?面ABCD，EF?面ABCD∴EF∥面ABCD．
∴E到面ABCD的距离等于F到面ABCD的距离．
在矩形ABCD中，△AOD≌△COB，S_△AOD=S_△COB．
∴V_E-BOC=V_F-AOD．
∵V_E-BOC=V_O-EBC，V_F-AOD=V_O-FAD．
∴V_O-EBC=V_O-FAD．
设G为AD中点，在EF上取点M，使MF=，连OM、OG.．
∵EF∥AB．
∴EF∥OG．
则四边形MFGO为平行四边形．
∴MO∥FG．∵FG?面FAD，MO?面FAD，
∴MO∥面FAD．
则O到面FAD的距离等于M到面FAD的距离．
∴V_M-FAD=V_O-FAD．
∴V_M-FAD=V_O-EBC．
分析：（Ⅰ）CD与AB是同一线段在空间的不同位置，故长度相等．且均与EF平行．所以四边形ABCD是平行四边形
（Ⅱ）过F作FM⊥AB于M，并设旋转后M的对应点为N，连FN，证出AB⊥面MNF，借助于EF∥AB，AD∥MN即可．
（Ⅲ）易知V_O-EBC=V_O-FAD．若三棱锥M-FAD与三棱锥O-EBC体积相等，则V_O-FAD=V_m-FAD，只需O，M到面FAD的距离相等即可．由此转化为OM∥面FAD．
点评：本题考查线线，线面位置关系及判定，三棱锥体积的计算，考查空间想象能力，分析解决问题能力，转化的思想方法．