Question

已知函数f(x)=

1

2

x2+x，g（x）=2a²lnx+（a+1）x．
（1）求过点（2，4）与曲线y=f（x）相切的切线方程；
（2）如果函数g（x）在定义域内存在导数为零的点，求实数a的取值范围；
（3）设h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．
（2）先求出导数g′(x)=

2a2

x

+(a+1)，若g'（x）=0，解得x=-

2a2

a+1

利用x＞0即可实数a的取值范围；
（3）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．

解答：解：（1）f'（x）=x+1，∵点（2，4）在曲线上，∴k=f'（2）=3
∴所求的切线方程为y-4=3（x-2），即y=3x-2…（3分）
（2）g′(x)=

2a2

x

+(a+1)
若g'（x）=0，则x=-

2a2

a+1

．
∵x=-

2a2

a+1

＞0，∴a＜-1．                             …（6分）
（3）h(x)=

1

2

x2+x-2a2lnx-(a+1)x=

1

2

x2-2a2lnx-ax(x＞0)h′(x)=x-

2a2

x

-a=

x2-ax-2a2

x

≥0
即

(x-2a)(x+a)

x

≥0…（11分）
当a＞0时，单调递增区间为[2a，+∞）
当a=0时，单调递增区间为（0，+∞）
当a＜0时，单调递增区间为[-a，+∞）…（14分）

点评：本小题主要考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考查直线的斜率、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．