Question

4．设函数y=2sin²x+2acosx+2a的最大值是$\frac{1}{2}$．
（1）求a的值；
（2）求y的最小值，并求y最小时x的值的集合．

Answer 1

分析 （1）令cosx=t，则t∈[-1，1]，换元可得y=-2（t-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{a2}{2}$+2a+2，分类讨论由二次函数区间的最值可得；
（2）由（1）知，y=-2（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，由二次函数的最值和余弦函数可得．

解答 解：（1）令cosx=t，则t∈[-1，1]，
换元可得y=2（1-t²）+2at+2a
=-2（t-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{a2}{2}$+2a+2，
当-1＜$\frac{a}{2}$＜1即-2＜a＜2时，y_max=$\frac{a2}{2}$+2a+2=$\frac{1}{2}$，解得a=-1，a=-3（舍去）；
当$\frac{a}{2}$≥1即a≥2时，y_max=-（1-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{a2}{2}$+2a+2=$\frac{1}{2}$，此方程无解；
当$\frac{a}{2}$≤-1即a≤-2时，y_max=-（-1-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{a2}{2}$+2a+2=$\frac{1}{2}$，此方程无解．
综上可得a的值为：-1．
（2）由（1）知，y=-2（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
当t=1时，y取最小值-4，
此时cosx=1，故x的集合：{x|x=2kπ，k∈Z}．

点评 本题考查三角函数的最值，换元并转化为二次函数区间的最值是解决问题的关键，属中档题．