Question

设实数a₁，a₂，a₃，a₄是一个等差数列，且满足1＜a₁＜3，a₃=4．若定义bn=2an，给出下列命题：
（1）b₁，b₂，b₃，b₄是一个等差数列；（2）b₁＜b₂；（3）b₂＞4；（4）b₄＞32；（5）b₂：b₄=256．
其中真命题的个数为（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：由已知中实数a₁，a₂，a₃，a₄是一个等差数列，且满足1＜a₁＜3，a₃=4．我们可以得到等差数列a₁，a₂，a₃，a₄的公差大于0，双由义bn=2an，我们根据等比数列的定义，易判断出b₁，b₂，b₃，b₄是一个递增的等比数列，进而可判断出5个命题中真命题的个数，从而得到答案．

解答：解：∵a₁，a₂，a₃，a₄是一个等差数列，且满足1＜a₁＜3，a₃=4．
故数列{a_n}是一个递增数列，
又∵bn=2an，
故数列{b_n}是一个公比大于1的等比数列，故（1）b₁，b₂，b₃，b₄是一个等差数列，错误；
（2）b₁＜b₂，正确；
又

5

2

＜a₂＜

7

2

，∴b2=2a2＞2²=4，故（3）正确；
又

9

2

＜a₄＜

11

2

，∴b4=2a4＞2

9

2

，故b₄＞32=2⁵，不一定成立，故（4）错误；
而b₂：b₄＜1，故b₂：b₄=256错误
故真命题的个数为两个，
故选A

点评：本题考查的知识点是等差数列的性质，等比数列的判定，数列的函数特征，其中根据已知判断出b₁，b₂，b₃，b₄是一个递增的等比数列，是解答本题的关键．