Question

5．当1≤x≤2时，求函数y=-x²-ax+1的最大值和最小值．

Answer 1

分析 先求二次函数图象的对称轴，因为开口向下，因此求最大值要分对称轴在区间[1，2]内，左侧，右侧三种情况讨论，分别求出最大值和最小值．

解答 解：函数y=-x²-ax+1的图象是开口朝下，且以直线x=-$\frac{a}{2}$为对称轴的抛物线，
当-$\frac{a}{2}$＞2，即a＜-4时，函数在[1，2]上为增函数，当x=2时，函数最大值为：-3-2a，当x=1时，函数最小值为：-a，
当$\frac{3}{2}$＜-$\frac{a}{2}$≤2，即-4≤a＜-3时，函数在[1，-$\frac{a}{2}$]上为增函数，在[-$\frac{a}{2}$，2]上为减函数，当x=-$\frac{a}{2}$时，函数最大值为：$\frac{{a}^{2}+1}{4}$，当x=1时，函数最小值为：-a，
当1≤-$\frac{a}{2}$≤$\frac{3}{2}$，即-3≤a≤-2时，函数在[1，-$\frac{a}{2}$]上为增函数，在[-$\frac{a}{2}$，2]上为减函数，当x=-$\frac{a}{2}$时，函数最大值为：$\frac{{a}^{2}+1}{4}$，当x=2时，函数最小值为：-3-2a，
当-$\frac{a}{2}$＜1，即a＞-2时，函数在[1，2]上为减函数，当x=1时，函数最大值为：-a，当x=1时，函数最小值为：-3-2a

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．