Question

如图，多面体ABCDE的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形BCDE为平行四边形，且CD⊥平面ABC．
（1）证明：BC⊥平面ACD；
（2）若AB=5，BC=4，tan∠EAB=

4

5

，求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

分析：（1）由CD⊥平面ABC可得，CD⊥BC①再AB是圆O的直径可得BC⊥AC②，由①②根据线面垂直的判定定理可证
（2）要求多面体ABCDE的体积可转化为求四棱锥A-BCDE的体积，由已知可得CD⊥AC，AC⊥BC，CD∩BC=C，所以AC⊥平面BCDE．即
AC是四棱锥A-BCDE的高．代入锥体体积公式可求

解答：（1）证明：因为CD⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以CD⊥BC．
因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，又CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD．
（2）多面体ABCDE是一个四棱锥A-BCDE．
因为CD⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以CD⊥AC，
又AC⊥BC，CD∩BC=C，所以AC⊥平面BCDE．所以AC是四棱锥A-BCDE的高．
因为AB=5，BC=4，所以AC=

AB2-BC2

=3．
因为AB=5，tan∠EAB=

BE

AB

=

4

5

，所以BE=4．
所以底面BCDE的面积为BC×BE=4×4=16．
所以VA-BCDE=

1

3

SBCDE•AC=

1

3

×16×3=16．

点评：本小题主要考查空间线面关系的线面垂直的判定定理的运用，空间几何体的体积的求解等知识，锥体体积的计算中最为关键的是确定锥体的高，而若高的确定比较困难时，常用等体积转化求解答，也是非常常用的方法，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．