Question

9．已知函数f（x）=a1nx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-（a+1）x（a∈R），若函数f（x）在区间（1，3）上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析 求出函数的导数，根据函数的单调性，得到x-a＜0在（1，3）恒成立，求出a的范围即可．

解答 解：f（x）=a1nx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-（a+1）x，x＞0，
f′（x）=$\frac{a}{x}$+x-（a+1）=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$，
∵1＜x＜3，
∴$\frac{x-1}{x}$＞0，
若函数f（x）在区间（1，3）上单调递减，
则x-a≤0在（1，3）恒成立，
故a≥3．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道基础题．