Question

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且 2a₁+3a₂=1，=9a₂a₆．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设 b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求的前n项和T_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求使 ≥（7-2n）T_n恒成立的实数k的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由=9a₂a₆得=9
所以q²=．
由条件可知q＞0，故q=．
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁=．
故数列{a_n}的通项式为a_n=；
（Ⅱ）b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-（1+2+…+n）=-
∴=-2（）
∴T_n=-2[（1-）+（-）+…+（）]=-；
（Ⅲ） ≥（7-2n）T_n等价于
化简得k≥恒成立
设d_n=，则d_n+1-d_n=-=．
当n≥5，d_n+1≤d_n，{d_n}为单调递减数列，1≤n＜5，d_n+1＞d_n，{d_n}为单调递增数列
当n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}为单调递减数列，当1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}为单调递增数列
∵=d₄＜d₅=，∴n=5时，d_n取得最大值为
∴使≥（7-2n）T_n（n∈N^*）恒成立的实数
分析：（I）先根据2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆求出等比数列的通项；
（Ⅱ）求出数列{b_n}的通项，利用裂项法求和即可得到求的前n项和T_n；
（Ⅲ）把 ≥（7-2n）T_n恒成立转化为k≥恒成立，求出不等式右边的最大值即可．
点评：本题考查数列与不等式的综合以及数列求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题目．