Question

定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）满足：xf′（x）+f（x）＜0且f（1）=1，则不等式xf（x）＞1的解集为（　　）

• A、（-∞，1）
• B、（0，1）
• C、（1，+∞）
• D、（0，1]

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：构造函数g（x）=xf（x）求函数的导数，利用函数的单调性即可求不等式．

解答： 解：设g（x）=xf（x），
则g′（x）=[xf（x）]′=xf′（x）+f（x）＜0，
即当x＞0时，函数g（x）=xf（x）单调递减，
∵f（1）=1，
∴g（1）=1×f（1）=1，
则不等式xf（x）＞1等价为g（x）＞g（1），
即0＜x＜1，
则不等式xf（x）＞1的解集为（0，1）．
故选：B

点评：本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．