Question

设0≤θ＜2π时，已知两个向量

OP1

=(cosθ，  sinθ)，  

OP2

=(2+sinθ，  2-cosθ)，则|

P1P2

|的最大值为

3

2

．

Answer 1

分析：根据题意，可得向量

P1P2

关于θ的坐标形式，再化简得到|

P1P2

|²=10-8cosθ，结合cosθ∈[-1，1]可得当θ=π时，|

P1P2

|²的最大值为18，从而得到|

P1P2

|的最大值为

18

=3

2

．

解答：解：∵

OP1

=(cosθ，  sinθ)，  

OP2

=(2+sinθ，  2-cosθ)
∴

P1P2

=（2+sinθ-cosθ，2-cosθ-cosθ）
因此，|

P1P2

|²=（2+sinθ-cosθ）²+（2-cosθ-cosθ）²
=4+4（sinθ-cosθ）+（sinθ-cosθ）²+4-4（sinθ+cosθ）+（sinθ+cosθ）²
=10-8cosθ
∵cosθ∈[-1，1]，
∴当cosθ=-1时，|

P1P2

|²的最大值为18，此时θ=π
因此，可得当θ=π时，|

P1P2

|的最大值为

18

=3

2

故答案为：3

2

点评：本题给出向量

OP1

、  

OP2

关于θ的坐标形式，求|

P1P2

|的最大值，着重考查了三角恒等变换、三角函数的最值和向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．