Question

已知数据x₁，x₂，x₃，…，x₁₀的平均数为6，标准差为

2

，则数据x₁，x₂，…，x₅的平均数的取值范围是

6-

2

≤a≤6+

2

．

Answer 1

分析：法一：设x₁，x₂，…，x₅的平均数为a，x₆，x₇，…，x₁₀的平均数为b，则b=12-a，利用条件：“数据x₁，x₂，x₃，…，x₁₀的平均数为6，标准差为

2

，”得出关于a的不等关系，最后解一个二次不等式即可；
法二：（运用柯西不等式）设x₁，x₂，…，x₅的平均数为a，x₆，x₇，…，x₁₀的平均数为b，则b=12-a，利用柯西不等式得出：x₁²+x₂²+…+x₁₀²≥5a²+5（12-a）²，解之即可．

解答：解：由（x₁-6）²+（x₂-6）²+…+（x₁₀-6）²=20，
得：x₁²+x₂²+…+x₁₀²-12（x₁+x₂+…+x₁₀）+360=20
即 x₁²+x₂²+…+x₁₀²=380
设x₁，x₂，…，x₅的平均数为a，x₆，x₇，…，x₁₀的平均数为b，则b=12-a
结合方差定义   （x₁-a）²+（x₂-a）²+…+（x₅-a）²≥0
展开得：x₁²+x₂²+…+x₅²-2a（x₁+x₂+…+x₅）+5a²≥0
即  x₁²+x₂²+…+x₅²-2a•5a+5a²≥0，x₁²+x₂²+…+x₅²≥5a²，
同理x₆²+x₇²+…+x₁₀²≥5b²=5（12-a）²
得：x₁²+x₂²+…+x₁₀²≥5a²+5（12-a）²，即  380≥5a²+5（12-a）²a²-12a+34≤0得6-

2

≤a≤6+

2

另解：（运用柯西不等式）
设x₁，x₂，…，x₅的平均数为a，x₆，x₇，…，x₁₀的平均数为b，则b=12-a
由 

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 5

≥

(x1+x2+…+x5)2

5

=5a2，

x

2 6

+

x

2 7

+…+

x

2 10

≥

(x6+x7+…+x10)2

5

=5b2=5(12-a)2
得：x₁²+x₂²+…+x₁₀²≥5a²+5（12-a）²，即  380≥5a²+5（12-a）²a²-12a+34≤0得6-

2

≤a≤6+

2

点评：本小题主要考查极差、方差与标准差、柯西不等式、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．