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设圆锥的母线长为l,底面半径为r,满足条件“它的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的”的情况有且只有一种,则=   
【答案】分析:由题意画出圆锥及其内接圆柱的轴截面图,设出圆锥的高,圆柱的高和底面半径,然后根据平行关系建立方程,由满足条件“圆锥的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的”的情况有且只有一种知方程有唯一解,利用方程的判别式等于0得圆锥的母线长l与底面半径r的关系.
解答:解:由题意画出轴截面图,如图所示,
圆锥的母线长为l,底面半径为r,
设圆锥高为h,内接圆柱高为x,底面半径为y,
∵CD∥AB,∴,∴,则
∴圆锥的侧面积S1=πrl,圆柱的侧面积S2=2πx•y=
由圆锥的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的得:
,也就是
又“圆锥的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的”的情况有且只有一种
∴方程有且只有一个解,
∴△==0,



整理得:,∴
∴圆锥的母线长为l,底面半径为r,满足条件“它的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的”的情况有且只有一种时的
故答案为
点评:本题考查了旋转体中组合体的关系,考查了学生的观察与分析能力,考查了空间想象能力,解答此题的关键是把题目给出的条件转化成方程有唯一解,体现了数学转化思想,同时训练了学生对一元二次方程有唯一解情况的处理,是中档题.
练习册系列答案
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设圆锥的母线长为l,底面半径为r,满足条件“它的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的
1
4
”的情况有且只有一种,则
r
l
=
3
2
3
2

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如图所示,已知在圆锥SO中,底面半径r=1,母线长l=4,M为母线SA上的一个点,且SMx,从点M拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A,求:

(1)设f(x)为绳子最短长度的平方,求f(x)表达式;

(2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离;

(3)f(x)的最大值.

 

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解析:设圆锥母线长为R,底面圆的半径为r,则rRsin.又底面周长l=2πr,即2πRsin,∴α=2πsin.

θ,∴<sin,∴π<απ.

答案:D

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