Question

已知定义域为R的奇函数f(x)=

a•2x+b

2x+1

，且f(2)=

3

5

（1）求实数a，b的值；
（2）解不等式：f^-1（x）＞1．

Answer 1

分析：（1）因为函数f(x)=

a•2x+b

2x+1

是奇函数，满足f（-x）=-f（x），把x=0，和x=2代入，即可得到关于a，b的两个等式，解方程组求出a，b的值．
（2）由（1）得f(x)=

2x-1

2x+1

，⇒f^-1（x）=log₂

1+x

1-x

，从而f^-1（x）＞1?log₂

1+x

1-x

＞1，最后转化成分式不等式

1+x

1-x

＞2，解之即得．

解答：解：∵定义域为R的函数f(x)=

a•2x+b

2x+1

是奇函数，且f(2)=

3

5

∴

f(0)=0 f(2)= 3 5

，
即

a+b=0 4a+b 5 = 3 5

解得

a=1 b=-1

，
（2）由（1）得f(x)=

2x-1

2x+1

，⇒f^-1（x）=log₂

1+x

1-x

，
∴f^-1（x）＞1?log₂

1+x

1-x

＞1，
即

1+x

1-x

＞2，
解之，得

1

3

＜x＜1．

点评：本题主要考查了奇函数的性质，以及应用性质求参数的值，不等式的解法，属于函数性质的应用．