Question

19．在△ABC中，∠C=45°，O是△ABC的外心，若$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}（{m，n∈R}）$，则m+n的取值范围为[-$\sqrt{2}$，1）．

Answer 1

分析 利用已知条件，得∠AOB=90°，两边平方$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}（{m，n∈R}）$，则m²+n²=1结合基本不等式，即可求得结论．

解答 解：设圆的半径为1，则由题意m、n不能同时为正，
∴m+n＜1…①
∵∠C=45°，O是△ABC的外心，
∴∠AOB=90°
两边平方$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}（{m，n∈R}）$即可得出1=m²+n²+2mncos∠AOB⇒m²+n²=1…②，
∵$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}≥（\frac{m+n}{2}）^{2}$，…③，
由①②③得-$\sqrt{2}≤m+n＜1$．
故答案为：[-$\sqrt{2}$，1）

点评 本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．