【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,AB,E为PC中点.
(Ⅰ)证明:BE∥平面PAD;
(Ⅱ)若AB⊥平面PBC,△PBC是边长为2的正三角形,求点E到平面PAD的距离.
【答案】(Ⅰ)证明见解析 (Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)取的中点,连结,,推导出四边形为平行四边形,从而,由此能证明平面.
(Ⅱ)由平面,得点到平面的距离等于点到平面的距离,取的中点,连结,记点到平面的距离为,三棱锥的体积,由此能求出点到平面的距离.
证明:(Ⅰ)取的中点,连结,.
为的中点,,且.
又,且,
,且,故四边形为平行四边形.
.
又平面,平面,
平面.
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)得平面.
故点到平面的距离等于点到平面的距离.
取的中点,连结.
平面,平面,
平面平面.
又是边长为2的正三角形,,,且.
平面平面,平面.
四边形是直角梯形,,,,
,.
,,,,
,.
.
记点到平面的距离为,
三棱锥的体积,
.
点到平面的距离为.
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【题目】某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照分成5组,制成如图所示频率分直方图.
(1)求图中x的值;
(2)求这组数据的平均数和中位数;
(3)已知满意度评分值在内的男生数与女生数3:2,若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈,求2人均为男生的概率.
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【题目】圆的方程为:,为圆上任意一点,过作轴的垂线,垂足为,点在上,且.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)过点的直线与曲线交于、两点,点的坐标为,的面积为,求的最大值,及直线的方程.
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【题目】已知函数是定义在上的奇函数,当时,,给出下列命题:
①当时, ②函数有3个零点
③的解集为 ④,都有
其中正确命题的个数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
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【题目】已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2ln x.
(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性;
(2)若方程f(x)=g(x)在区间[,e]上有两个不等解,求a的取值范围.
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【题目】已知圆O经过椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点以及两个顶点,且点(b,)在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l与圆O相切,与椭圆C交于M、N两点,且|MN|=,求直线l的倾斜角.
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【题目】已知依次满足
(1)求点的轨迹;
(2)过点作直线交以为焦点的椭圆于两点,线段的中点到轴的距离为,且直线与点的轨迹相切,求该椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,设点的坐标为,是否存在椭圆上的点及以为圆心的一个圆,使得该圆与直线都相切,如存在,求出点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理由.
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【题目】40名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:
(1)求频率分布直方图中的值;
(2)根据频率分布直方图求出样本数据的中位数 (保留小数点后两位数字)和众数;
(3)从成绩在的学生中任选3人,求这3人的成绩都在中的概率.
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