Question

如图，几何体中，四边形为菱形，，，面∥面,、、都垂直于面,且，为的中点，为的中点.

（1）求几何体的体积；
（2）求证：为等腰直角三角形；
（3）求二面角的大小.

Answer 1

（1）几何体的体积为；（2）详见试题解析；（3）二面角的大小为．

试题分析：（1）将几何体补成如图的直四棱柱，利用计算几何体的体积；（2）详见试题解析；（3）取的中点，因为分别为的中点，所以∥，以分别为轴建立坐标系，利用法向量求二面角的大小．
试题解析：（1）将几何体补成如图的直四棱柱，则        3分

（2）连接，交于，因为四边形为菱形，，所以．因为、都垂直于面,，又面∥面，所以四边形为平行四边形，则，因为、、都垂直于面,则，所以，所以为等腰直角三角形．           7分
（3）取的中点，因为分别为的中点，所以∥，以分别为轴建立坐标系，则，所以．平面为的中点，平面．由知二面角的大小为．二面角的大小为．
12分