Question

已知函数f（x）=2cos²

x

2

+sinx，求f（x）的最小正周期和单调递增区间．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：由条件根据三角函数的恒等变换求得f（x）=

2

sin（x+

π

4

）+1，可得它的最小正周期．令2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．

解答： 解：函数f（x）=2cos²

x

2

+sinx=cosx+sinx+1=

2

sin（x+

π

4

）+1，
故它的最小正周期为

2π

2

=π．
令2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得2kπ-

3π

4

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

4

，k∈z，
故函数的增区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的单调性，属于中档题．