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在如图的多面体中,平面的中点.

(1)求证:平面
(2)求证:
(3)求三棱锥的体积.

(1)详见解析;(2)详见解析;(3)三棱锥的体积为.

解析试题分析:(1)证明四边形为平行四边形,进而得到,再利用直线与平面平行的判定定理得到平面;(2)过点于点,连接,先证明平面,于是得到平面,从而得到,再证明四边形为菱形,从而得到
,利用直线与平面垂直的判定定理得到平面,从而得到;(3)由平面,由,得到平面,从而将三棱锥的体积的计算变换成以点为顶点,以所在平面为底面的三棱锥来计算体积.
试题解析:(1)∵AD∥EF,EF∥BC,∴AD∥BC.
又∵BC=2AD,G是BC的中点,∴AD//BG,
∴四边形ADGB是平行四边形,∴AB∥DG.   
∵AB?平面DEG,DG?平面DEG,∴AB∥平面DEG.

(2)证明:∵EF⊥平面AEB,AE?平面AEB,∴EF⊥AE,
又AE⊥EB,EB∩EF=E,EB,EF?平面BCFE,∴AE⊥平面BCFE.
过D作DH∥AE交EF于H,则DH⊥平面BCFE.
∵EG?平面BCFE,∴DH⊥EG.
∵AD∥EF,DH∥AE,∴四边形AEHD平行四边形,∴EH=AD=2,
∴EH=BG=2,又EH∥BG,EH⊥BE,
∴四边形BGHE为正方形,∴BH⊥EG,
又BH∩DH=H,BH?平面BHD,DH?平面BHD,∴EG⊥平面BHD.
∵BD?平面BHD,∴BD⊥EG.(10分)
(3)∵⊥平面,EF//AD,∴AD⊥平面,故三棱锥A-BED的高为AD
,∴SAEB ==
= SAEB=(14分)
考点:1.直线与平面平行;2.异面直线垂直;3.等体积法计算三棱锥的体积

练习册系列答案
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(2)求四面体的体积.

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(1)求证:
(2)求证:平面平面
(3)求三棱锥的体积.

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