Question

已知函数f（x）=

ax2+1

bx+c

为奇函数，f（1）=2，f（2）=

5

2

（1）求f（x）的解析式；
（2）当x＞0时，确定f（x）的单调递增区间，并给予证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）=

ax2+1

bx+c

为奇函数，f（1）=2，f（2）=

5

2

，可得：f（-1）=-2，代入构造关于a，b，c的方程，解方程可得f（x）的解析式；
（2）当x＞0时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），利用导数法，易证明结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

ax2+1

bx+c

为奇函数，f（1）=2，f（2）=

5

2

∴f（-1）=-2，
即

a+1 b+c =2 a+1 -b+c =-2 4a+1 2b+c = 5 2

，
解得：a=b=1，c=0，
∴f（x）=

x2+1

x

（2）当x＞0时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），理由如下：
由（1）中，f（x）=

x2+1

x

，可得：f′（x）=

x2-1

x2

，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数单调性的判定与证明，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．