Question

【题目】在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，
（1）求证：CF∥平面A1DE；
（2）求二面角A1﹣DE﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），

D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），则 =（2，0，2）， =（1，2，0）．

设平面A1DE的法向量是 ，

由 ，取 =（﹣2，1，2）．

由 =（0，﹣2，1），得 ，所以CF∥平面A1DE．

（2）面DEA的一个法向量为 ．

cos＜ ， ＞= ．

∴面角A1﹣DE﹣A的余弦值为 ．

【解析】先分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），再写出向量 ， ，的坐标，求出平面A1DE的法向量 ．（1）利用向量坐标之间的关系证得 ，从而得出CF∥平面A1DE．（2）利用法向量，利用向量的夹角公式求二面角A1﹣DE﹣A的余弦值．
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定是解答本题的根本，需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．