Question

已知命题p：关于x的不等式x²-ax+1≥0对任意x∈R恒成立；命题q：函数f(x)=

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x3-x2-ax+2在x∈[-1，1]上是增函数．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出组成复合命题的简单命题的为真时a的取值范围，由复合命题真值表知，若“p且q”为假，“p或q”为真，则命题p、q一真一假，分别求出当p真q假时和当q真p假时a的取值范围，再求并集可得答案．

解答：解：∵关于x的不等式x²-ax+1≥0对任意x∈R恒成立，
∴△=a²-4≤0⇒-2≤a≤2；
∴命题p为真命题时，-2≤a≤2；
由函数f(x)=

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x3-x2-ax+2在x∈[-1，1]上是增函数，
得当x∈[-1，1]时，f′（x）=x²-2x-a＞0；
∵f′（x）在[-1，1]上单调递减，
∴f′（1）=-1-a＞0⇒a＜-1，
∴命题q为真命题时，a＜-1；
由复合命题真值表知，若“p且q”为假，“p或q”为真，则命题p、q一真一假，
当p真q假时，

-2≤a≤2 a≥-1

⇒-1≤a≤2；
当q真p假时，

a＞2或a＜-2 a＜-1

⇒a＜-2．
综上a的取值范围为[-1，2]∪（-∞，-2）．

点评：本题借助考查复合命题的真假判断，考查了函数的单调区间的判定及一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是求得组成复合命题的简单命题的为真时a的取值范围．