Question

20．设向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，1），向量$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$cosx，sin2x-$\sqrt{3}$），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）已知△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2$\sqrt{3}$，b=3$\sqrt{2}$，f（A）=1，求c．

Answer 1

分析 （1）进行数量积的坐标运算，再利用二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简便可求出f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{3}）$，从而便可得出最小正周期为π；
（2）根据条件知$0＜A＜\frac{π}{2}$，从而根据$2sin（2A+\frac{π}{3}）=1$便可求出A=$\frac{π}{4}$，而根据正弦定理便可求出B=$\frac{π}{3}$，或$\frac{2π}{3}$，从而求出$C=\frac{5π}{12}$，或$\frac{π}{12}$，然后根据余弦定理及两角和与差的余弦公式便可求出角C对应的c值．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2\sqrt{3}co{s}^{2}x+sin2x-\sqrt{3}$
=$\sqrt{3}（1+cos2x）+sin2x-\sqrt{3}$
=$2sin（2x+\frac{π}{3}）$；
∴f（x）的最小正周期为π；
（2）如图，
f（A）=$2sin（2A+\frac{π}{3}）=1$；
∴$sin（2A+\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$；
∵$0＜A＜\frac{π}{2}$；
∴$\frac{π}{3}＜2A+\frac{π}{3}＜\frac{4π}{3}$；
∴$2A+\frac{π}{3}=\frac{5π}{6}$；
∴$A=\frac{π}{4}$；
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{sinB}$；
∴$sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$B=\frac{π}{3}$，或$\frac{2π}{3}$；
①若B=$\frac{π}{3}$，C=$π-\frac{π}{4}-\frac{π}{3}=\frac{5π}{12}$；
∴${c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}-2abcos\frac{5π}{12}$=$12+18-12\sqrt{6}cos（\frac{π}{4}+\frac{π}{6}）$=$30-12\sqrt{6}（\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{1}{2}）$=$12+6\sqrt{3}=（3+\sqrt{3}）^{2}$；
∴$c=3+\sqrt{3}$；
②若B=$\frac{2π}{3}$，$C=\frac{π}{12}$；
∴${c}^{2}=30-12\sqrt{6}cos（\frac{π}{3}-\frac{π}{4}）$=$30-12\sqrt{6}（\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}）$=$12-6\sqrt{3}=（3-\sqrt{3}）^{2}$；
∴$c=3-\sqrt{3}$．

点评 考查向量数量积的坐标运算，二倍角的余弦公式，两角和的正弦公式，以及两角和与差的余弦公式，正弦定理和余弦定理．