Question

21.已知函数f(x)=x²+x-1,α、β是方程f(x)=0的两个根（α＞β）是f(x)的导数.设a₁＝1，a_n+1=a_n-(n=1,2,…).

(1)求α、β的值；

(2)证明：任意的正整数n，都有a_n＞;

(3)记b_n=(n=1,2,…),求数列{b_n}的前n项和S_n.

Answer 1

解： (1)解方程x²+x-1=0得x=    

由＞β知=,β=

(2) f' (x)=2x+1

=-=

下面我们用数学归纳法来证明该结论成立

①当n=1时，a₁=1＞=成立，

②假设n=k(k≥1, k∈N*)时，结论也成立，即a_k＞成立，

③那么当n=k+1时，

==-+＞-+=+=

                                                                                     

这就是说，当n=k+1时，结论也成立，故对于任意的正整数n，都有a_n＞

(3) ===

=()²

由题意知a_n＞,那么有a_n＞β，于是对上式两边取对数得

ln=ln()²=2 ln

即数列{b_n}为首项为b₁= ln()=2ln()，公比为2的等比数列。

故其前n项和

S_n=2ln() =2ln()(2ⁿ -1).