Question

如下图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=2a,点E是PD的中点.

(1)证明PA⊥平面ABCD,PB∥平面EAC;

(2)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值.

Answer 1

(1)证法一:如图,因为底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,?

所以AB=AD=AC=a.?

在△PAB中,由PA²+AB²=2a²=PB²?

知PA⊥AB.?

同理,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD.?

因为=++?

=2++??

=(+)+( +)?

=+??

所以、、共面.?

又PB 平面EAC,所以PB∥平面EAC.

证法二:同证法一得PA⊥平面ABCD.?

连结BD,设BD∩AC=O,则O为BD的中点.?

连结OE,因为E是PD的中点,所以PB∥OE.?

又PB 平面EAC,OE 平面EAC,故PB∥平面EAC.

(2)解:作EG∥PA交AD于G,由PA⊥平面ABCD知EG⊥平面ABCD.?

作GH⊥AC于H,连结EH,则EH⊥AC,∠EHG即为二面角θ的平面角.?

又E是PD的中点,从而G是AD的中点.?

EG=a,AG=a,?

GH=AGsin60°=a,?

所以tanθ==.