Question

如图，△ABC 为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE=CA=2BD，N 是EA 的中点，求证：
（1）DE=DA；
（2）平面BDN⊥平面ECA；
（3）平面DEA⊥平面ECA．

Answer 1

分析：对于（1）可以通过作辅助线，取CE中点F，CA中点M，连接DF，由CE=CA=2BD，容易证明Rt△DEF≌Rt△ABD；
对于（2），由EC⊥平面ABC，容易得到BM⊥CE，又M为正三角形ABC边CA的中点，故BM⊥AC，容易得到BM⊥平面ECA，从而得证；
对于（3），由于N是EA的中点，容易得到DN∥BM，而BM⊥平面ECA，从而得证．

解答：证明：（1）如图，取EC中点F，连接DF．
∵EC⊥平面ABC，BD∥CE，得DB⊥平面ABC．
∴DB⊥AB，EC⊥BC．
∵BD∥CE，BD=

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CE=FC，则四边形FCBD是矩形，
∴DF⊥EC．
又BA=BC=DF，
∴Rt△DEF≌Rt△ABD，所以DE=DA．
（2）取AC中点M，连接MN、MB，∵N是EA的中点，
∴MN=

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EC．由BD=

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EC，且BD⊥平面ABC，可得四边形
MNBD是矩形，于是DN∥BM．
∵DE=DA，N是EA的中点，∴DN⊥EA．又EA∩MN=N，
∴DN⊥平面ECA，而DN?平面BDN，则平面ECA⊥平面BDN．
（3）∵DN⊥平面ECA，DN?平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA．

点评：本题考查空间中线段相等问题及平面与平面垂直的问题，线段相等要转化为平面内三角形全等问题解决；面面垂直转化为线面垂直解决，同时注意使用线面垂直的判定定理及性质定理．