Question

已知函数f（x）=x|x-a|-b，a，b∈R
（1）当a=

1

2

，b=0时，求函数f（x）在x∈[m，m+1]（0＜m＜

1

4

）上的值域
（2）当x∈[0，1]时，f（x）＜0恒成立，求b的取值范围（a表示）

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数的值域,函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）化简f（x）=x|x-

1

2

|=

x( 1 2 -x)，m≤x≤ 1 2 x(x- 1 2 )， 1 2 ＜x≤m+1

；分别求最值，再求在[m，m+1]上的值域；
（2）当x∈[0，1]时，f（x）＜0恒成立可化为f_max（x）＜0；从而化为函数的最值问题求解．

解答： 解：（1）f（x）=x|x-

1

2

|=

x( 1 2 -x)，m≤x≤ 1 2 x(x- 1 2 )， 1 2 ＜x≤m+1

；
当m≤x≤

1

2

时，0≤f（x）≤

1

16

；
当

1

2

＜x≤m+1；
则0＜f（x）≤（m+1）（m+

1

2

）；
故函数f（x）在x∈[m，m+1]（0＜m＜

1

4

）上的值域为[0，（m+1）（m+

1

2

）]；
（2）当x∈[0，1]时，f（x）＜0恒成立可化为f_max（x）＜0；
①当a≤0时，f（x）=x|x-a|-b在[0，1]上是增函数，
f_max（x）=f（1）=1-a-b＜0；
故b＞1-a；
②当0＜a＜1时，
f（x）=x|x-a|-b在[0，a]上的最大值为(

a

2

)2-b；
在[a，1]上的最大值为1-a-b；
故当(

a

2

)2-（1-a）=

a2+4a-4

4

≥0，即a≥2

2

-2，
即当2

2

-2≤a＜1时，
(

a

2

)2-b＜0，故b＞(

a

2

)2；
当0＜a＜2

2

-2时，1-a-b＜0，
故b＞1-a；
③当1≤a＜2时，f（x）=x|x-a|-b在[0，1]上的最大值为(

a

2

)2-b，
故(

a

2

)2-b＜0，故b＞(

a

2

)2；
②当a≥2时，f（x）=x（a-x）-b在[0，1]上的最大值为a-1-b，
故a-1-b＜0，故b＞a-1．

点评：本题考查了分段函数的性质应用及恒成立问题的处理方法，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．