Question

已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log₂x．
（Ⅰ）求当x＜0时，函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）求满足f（x+1）＜-1的x的取值范围；
（Ⅲ）已知对于任意的k∈N，不等式2^k≥k+1恒成立，求证：函数f（x）的图象与直线y=x没有交点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当x＜0时，则有-x＞0，故f（-x）=log₂（-x）=-f（x），由此求得函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）由于 f(x)=

log2x (x＞0) -log2(-x) (x＜0)

，可得f(x+1)=

log2(x+1) (x＞-1) -log2[-(x+1)] (x＜-1)

，由f（x+1）＜-1，可得

x＞-1 log2(x+1)＜-1

，或

x＜-1 -log2[-(x+1)]＜-1

．
由此解得x的范围．
（Ⅲ）根据对称性，只要证明函数f（x）的图象与直线y=x在x∈（0，+∞）上无交点即可．令x∈（0，+∞），函数y₁=log₂x，y₂=x，分①当x∈（0，1]时，②当x∈（2^k，2^k+1]（k∈N）时这2种情况，分别求得y₁＜y₂，可得在x∈（0，+∞）上直线y=x始终在y=log₂x的图象之上方，命题得证．

解答：解：（Ⅰ）当x＜0时，则有-x＞0，故f（-x）=log₂（-x）=-f（x），∴f（x）=-log₂（-x）．------（5分）
（Ⅱ）由于 f(x)=

log2x (x＞0) -log2(-x) (x＜0)

，
∴f(x+1)=

log2(x+1) (x+1＞0) -log2[-(x+1)] (x+1＜0)

=

log2(x+1) (x＞-1) -log2[-(x+1)] (x＜-1)

，
因为f（x+1）＜-1，∴

x＞-1 log2(x+1)＜-1

，或

x＜-1 -log2[-(x+1)]＜-1

．
解得x＜-3，或-1＜x＜-

1

2

．----（10分）
（Ⅲ）根据对称性，只要证明函数f（x）的图象与直线y=x在x∈（0，+∞）上无交点即可．
令x∈（0，+∞），函数y₁=log₂x，y₂=x，
①当x∈（0，1]时，y₁≤0，y₂＞0，则y₁＜y₂，
②当x∈(2k，2k+1](k∈N)时，y1≤k+1，y2＞2k≥k+1，则y1＜y2，
则在x∈（0，+∞）上直线y=x始终在y=log₂x的图象之上方．
综上所述，由于对称性可知，函数f（x）的图象与直线y=x没有交点．---------（15分）

点评：本题主要考查求函数的解析式，对数不等式的解法，指数函数的图象和性质的综合应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．