Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 且Sn=2n﹣1．数列{bn}满足b1=2，bn+1﹣2bn=8an ．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）证明：数列{ }为等差数列，并求{bn}的通项公式．
（3）求{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，a1=S1=2﹣1=1；

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1；

上式对n=1也成立．

则数列{an}的通项公式为an=2n﹣1；

（2）证明：bn+1﹣2bn=8an=82n﹣1=2n+2，

两边同除以2n+1，可得

﹣ =2，

可得数列{ }是首项为 =1，公差为2的等差数列；

即有 =1+2（n﹣1）=2n﹣1，

则{bn}的通项公式为bn=（2n﹣1）2n；

（3）解：{bn}的前n项和Tn=12+322+523+…+（2n﹣1）2n，

可得2Tn=122+323+524+…+（2n﹣1）2n+1，

两式相减可得，﹣Tn=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）2n+1

=2+2 ﹣（2n﹣1）2n+1，

化简可得Tn=6+（2n﹣3）2n+1．

【解析】（1）运用当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 计算即可得到所求通项公式；（2）对bn+1﹣2bn=2n+2 ， 两边同除以2n+1 ， 由等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（3）运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．