Question

6．若圆（x-3）²+（y+5）²=r²上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为1，则半径r的取值范围是（　　）

• A． （4，6）
• B． [4，6）
• C． （4，6]
• D． [4，6]

Answer 1

分析 先根据圆的方程求得圆心坐标和圆心到已知直线的距离，进而可推断出与直线4x-3y-2=0距离是1的两个直线方程，分别求得圆心到这两直线的距离，分析如果与4x-3y+3=0相交 那么圆也肯定与4x-3y-7=0相交 交点个数多于两个，则到直线4x-3y-2=0的距离等于1的点不止2个，进而推断出圆与4x-3y+3=0不相交；同时如果圆与4x-3y-7=0的距离小于等于1 那么圆与4x-3y-7=0和4x-3y+3=0交点个数和至多为1个 也不符合题意，最后综合可知圆只能与4x-3y-7=0相交，与4x-3y+3=0相离，进而求得半径r的范围．

解答 解：依题意可知圆心坐标为（3，-5），到直线的距离是5，
与直线4x-3y-2=0距离是1的直线有两个4x-3y-7=0和4x-3y+3=0，
圆心到4x-3y-7=0距离为$\frac{|12+15-7|}{\sqrt{16+9}}$=4 到4x-3y+3=0距离是$\frac{|12+15+3|}{\sqrt{16+9}}$=6．
如果圆与4x-3y+3=0相交，那么圆也肯定与4x-3y-7=0相交，
交点个数多于两个，于是圆上点到4x-3y-2=0的距离等于1的点不止两个，
所以圆与4x-3y+3=0不相交，
如果圆与4x-3y-7=0的距离小于等于1，那么圆与4x-3y-7=0和4x-3y+3=0交点个数和至多为1个，
所以圆只能与4x-3y-7=0相交，与4x-3y+3=0相离，
所以4＜r＜6．
故选：A．

点评 本题主要考查了圆与圆的位置关系和判定．考查了学生分析问题和数形结合思想的运用．要求学生有严密的逻辑思维能力．