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【题目】若过点A(2,m)可作函数f(x)=x3﹣3x对应曲线的三条切线,则实数m的取值范围(  )
A.[﹣2,6]
B.(﹣6,1)
C.(﹣6,2)
D.(﹣4,2)

【答案】C
【解析】设切点为(a,a3﹣3a),
∵f(x)=x3﹣3x,
∴f'(x)=3x2﹣3,
∴切线的斜率k=f′(a)=3a2﹣3,
由点斜式可得切线方程为y﹣(a3﹣3a)=(3a2﹣3)(x﹣a),
∵切线过点A(2,m),
∴m﹣(a3﹣3a)=(3a2﹣3)(2﹣a),即2a3﹣6a2=﹣6﹣m,
∵过点A(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,
∴关于a的方程2a3﹣6a2=﹣6﹣m有三个不同的根,
令g(x)=2x3﹣6x2
∴g′(x)=6x2﹣12x=0,解得x=0或x=2,
当x<0时,g′(x)>0,当0<x<2时,g′(x)<0,当x>2时,g′(x)>0,
∴g(x)在(﹣∞,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
∴当x=0时,g(x)取得极大值g(0)=0,
当x=2时,g(x)取得极小值g(2)=﹣8,
关于a的方程2a3﹣6a2=﹣6﹣m有三个不同的根,等价于y=g(x)与y=﹣6﹣m的图象有三个不同的交点,
∴﹣8<﹣6﹣m<0,
∴﹣6<m<2,
∴实数m的取值范围为(﹣6,2).
故选:C.
设切点为(a,a3﹣3a),利用导数的几何意义,求得切线的斜率k=f′(a),利用点斜式写出切线方程,将点A代入切线方程,可得关于a的方程有三个不同的解,利用参变量分离可得2a3﹣6a2=﹣6﹣m,令g(x)=2x3﹣6x2 , 利用导数求出g(x)的单调性和极值,则根据y=g(x)与y=﹣6﹣m有三个不同的交点,即可得到m的取值范围。

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