Question

已知F₁（-1，0），F₂（1，0）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的两个焦点，点G与F₂关于直线l：x-2y+4=0对称，且GF₁与l的交点P在椭圆上．
（I）求椭圆方程；
（II）若P、M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是椭圆上的不同三点，直线PM、PN的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否是定值？如果是，求出该定值，如果不是，说明理由．

Answer 1

分析：（I）先根据点G与F₂关于直线l：x-2y+4=0对称求出点G（-1，4），再结合GF₁与l的交点P在椭圆上得到2a=|PF₁|+|PF₂|=|GF₁|=4，进而求出椭圆方程；
（II）先求出点P（-1，

3

2

），直线PM的方程为y=k（x+1）+

3

2

，椭圆方程与直线PM方程联立求出M（x₁，y₁）的横坐标与斜率的关系，同样求出N（x₂，y₂）的横坐标与斜率的关系；再根据M，N在直线PM、PN上，求出其纵坐标，即可得到直线MN的斜率，进而说明结论．

解答：解：（I）F₂（1，0）关于直线L：x-2y+4=0对称点G（-1，4）
又GF₁与l的交点P在椭圆上，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=|GF₁|=4．
∴b²=a²-c²=3．
因此，所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（II）由条件知直线PM，PN的斜率存在且不为0，
易得点P（-1，

3

2

），设直线PM的方程为y=k（x+1）+

3

2

，
由椭圆方程与直线PM方程联立消去y，
整理得（4k²+3）x²+4k（2k+3）x+4k²+12k-3=0，
∵P在椭圆上，∴方程两根为1，x₁，
∴1•x1=-

4k2+12k-3

4k2+3

，x1=-

4k2+12k-3

4k2+3

，
∵直线PM，PN的倾斜角互补，
∴直线PM，PN的斜率互为相反数，
∴x2= -

4k2-12k-3

4k2+3

．
则x1-x2=

-24k

4k2+3

，x1+x2=

6-8k2

4k2+3

．
又y1=k(x1+1)+

3

2

，y2=-k(x2+1)+

3

2

，
∴y₁-y₂=k（x₁+x₂+2）=

12k

4k2+3

．
∴直线MN的斜率KMN=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

（定值）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及点关于线对称问题．解决问题的关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理进行求解．