在△ABC中,已知a、b、c三边成等比数列,求证:cos(A-C)+cosB+cos2B=1.
证明:∵a、b、c三边成等比数列,
∴b2=ac.
由正弦定理及b2=ac可得:sin2B=sinAsinC,
∴cos(A-C)+cosB+cos2B=cos(A-C)-cos(A+C)+cos2B=2sinAsinC+cos2B=2sin2B+(1-2sin2B)=1.
分析:由题意可知,sin2B=sinAsinC,由此能够导出cos(A-C)+cosB+cos2B=2sinAsinC+cos2B=2sin2B+(1-2sin2B)=1.
点评:本题考查三角函数和正弦定理及等比数列的知识,解题时要注意公式的合理选用.