Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，点（a_n，a_n+1+1）在函数f（x）=2x+1的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设Cn=

n

Sn+1

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）：将点（a_n，a_n+1+1）（n∈N^*）代入函数f（x）=2x+1的解析式，整理后发现{a_n}是公比为2的等比数列，通项公式可求：a_n=2^n-1
（2）由a_n=2^n-1（n∈N^*），知a₁=1，q=2，由此能求出数列{a_n}的前n项和S_n．
（3）由Cn=

n

Sn+1

=

n

2n

，知T_n=

1

2

+

2

2 2

+

3

2 3

+…+

n-1

2 n-1

+

n

2 n

，由此利用错位相减法能够求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵（a_n，a_n+1+1）（n∈N^*）在函数f（x）=2x+1的图象上
则a_n+1+1=2a_n+1（n∈N^*）有a_n+1=2a_n
∵a₁=1，
∴a_n≠0，
∴

an+1

an

=2
∴{a_n}是公比为2的等比数列，通项公式为a_n=2^n-1（n∈N^*）
（2）∵a_n=2^n-1（n∈N^*），
∴a₁=1，q=2，
Sn=

1×(1-2n)

1-2

=2ⁿ-1．（n∈N^*）．
（3）∵Cn=

n

Sn+1

=

n

2n

，
∴T_n=

1

2

+

2

2 2

+

3

2 3

+…+

n-1

2 n-1

+

n

2 n

，①

1

2

T_n=

1

2 2

+

2

2 3

+

3

2 4

+…+

n-1

2 n

+

n

2 n

，②
①-②，得

1

2

Tn=

1

2

+

1

2 2

+

1

2 3

+…+

1

2 n

-

n

2n

=

1 2 (1- 1 2 n )

1- 1 2

-

n

2 n

，
∴T_n=2-

2+2n

2 n

．

点评：本题主要考查等比数列的判定，性质和数列的求和．对于一些特殊数列的求和可利用错位相减法、裂项法等方法来解决．