Question

（本小题满分12分）数列｛a_n｝满足a₁=1,a_n=a_n-1+1　 (n≥２)
⑴　写出数列｛a_n｝的前５项；
⑵　求数列｛a_n｝的通项公式。

Answer 1

⑴ a₁="1" ,a₂=⑵ a_n=2。

本试题主要是考查了数列递推关系求解数列的通项公式和前n项和。
（1）对于n令值，得到数列的前几项的值。
（2）根据前几项，归纳猜想，得到数列的通项公式，并运用数学归纳法加以证明。
解 ⑴ a₁="1" ,a₂=
（ 猜想  ｛a_n-2｝是等比数列 ）………4分
⑵ 解法一由a_n=a_n-1+1　 (n≥２) 得a_n－2=(a_n-1－2) ………7分
令 b_n= a_n－2 则b_n=b_n-1
又b₁=a₁－2=-1 故｛b_n｝是等比数列，首项－1，公比为，………9分
b_n=  ………11分
于是 a_n=2………12分
解法二 设 a_n+k=h(a_n-1+k)其中k、h为待定系数。
将a_n=ha_n-1+kh-k 与  a_n=a_n-1+1 比较得  h= , k=－2
故a_n－2=(a_n-1－2)   (n≥２)      而  a₁－2=－1
数列｛a_n－2｝是以 为公比，－1首项的等比数列。
a_n－2=，   a_n=2。