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10.已知函数f(x)=9x+3x+1+a3x
(1)若f(x)是偶函数,求实数a的值;
(2)若对任意x∈[0,+∞),都有f(x)>0,求实数a的取值范围;
(3)若f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.

分析 (1)由f(x)为偶函数,便有f(-1)=f(1),从而可以求出a=1;
(2)根据条件便可得到32x+3•3x>-a对任意x∈[0,+∞)恒成立,配方便可求出y=32x+3•3x在[0,+∞)上的最小值,从而得出a的取值范围;
(3)分离常数得到fx=3x+3+a3x,然后求导数,根据条件知导数f′(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,从而得到32x≥a在[0,+∞)上恒成立,这样便可求出a≤1,即求出a的取值范围.

解答 解:(1)f(x)是偶函数;
∴f(-1)=f(1);
19+1+a13=9+9+a3
解得a=1;
(2)由f(x)>0得,9x+3x+1+a3x0
∴32x+3•3x>-a对任意的x∈[0,+∞)都成立;
设g(x)=32x+3•3x=3x+32294,则g(0)=4为g(x)在[0,+∞)上的最小值;
∴4>-a;
∴a>-4;
∴实数a的取值范围为(-4,+∞);
(3)fx=3x+3+a3xfx=3xln3a3xln332x=ln332xa3x
∵f(x)在区间[0,+∞)上单调递增;
∴f′(x)≥0在[0,+∞)上恒成立;
∴32x≥a在[0,+∞)上恒成立;
y=32x在[0,+∞)上的最小值为30=1;
∴a≤1;
∴实数a的取值范围为(-∞,1].

点评 考查偶函数的定义,指数函数的单调性,配方求二次式子的最值的方法,分离常数法的运用,函数单调性和函数导数符号的关系.

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同步练习册答案
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