Question

如图，在空间六边形(即六个顶点没有任何五点共面)ABCC₁D₁A₁中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA₁∥CC₁.求证：平面A₁BC₁∥平面ACD₁.

Answer 1

证法一:作正方形BCC₁B₁和CC₁D₁D，并连结A₁B₁和AD.

    ∵AA₁CC₁BB₁DD₁,且AA₁⊥AB，AA₁⊥A₁D₁，

    ∴ABB₁A₁和AA₁D₁D都是正方形，且ACC₁A₁是平行四边形.

    故它们的对应边平行且相等.

    ∵△ABC≌△A₁B₁C₁,

    ∴A₁B₁⊥B₁C₁.

    同理，AD⊥CD.

    ∵BB₁⊥AB,BB₁⊥BC,∴BB₁⊥平面ABC.

    同理，DD₁⊥平面ACD.

    ∵BB₁∥DD₁,

    ∴BB₁⊥平面ACD.

    ∴A、B、C、D四点共面.

    ∴ABCD为正方形.

    同理，A₁B₁C₁D₁也是正方形.

    故ABCD—A₁B₁C₁D₁是正方体.

    易知A₁C₁∥AC，

    ∴A₁C₁∥平面ACD₁.

    同理，BC₁∥平面ACD₁，

    ∴平面A₁BC₁∥平面ACD₁.

证法二:证ABCD—A₁B₁C₁D₁是正方体，同上.

    连结B₁D、B₁D₁，则B₁D₁是B₁D在底面ABCD上的射影，

    由三垂线定理知B₁D⊥A₁C₁，同理可证B₁D⊥BA₁，

    ∴B₁D⊥平面A₁BC₁.

    同理可证，B₁D⊥平面ACD₁，

    ∴平面A₁BC₁∥平面ACD₁.